100次浏览 发布时间：2024-10-07 09:38:49
我们能够很轻易告诉人家"7"到底是什么意思，因为我们从小学开始，就在学数数，从1，2，3....7,像7这样的数字我们把它叫做自然数。所谓的自然数就是由以下内容组成：
自然数
很抱歉我是一个传统主义者，所以我坚持把0从自然数中剔除。我们的目标不是介绍自然数，但从这些到我们超越数是一个很漫长的旅程，所以在旅途中做出正确的停留很重要，我们第一个要停靠的地方是整数，即：
整数
接下来是有理数，我们可以使用自然数来生成它，如下图所示：
有理数
如果你稍微了解一点代数学，会知道有理数实际上等价类的集合，为了方便起见，我们在这些等价类中选出一个代表。而我们说自然数是有理数的子集，实际上构造了一个从自然数到等价类的单射。
到目前为止我们走的都很顺利，自然数是整数的子集合，整数是有理数的子集合，我们不同的超越了自己，然后迎来了一次飞跃，这次飞跃的就是实数。
熟系之间的包含关系
有许多严格的方法来定义实数，比方说柯西列或者戴德金分割甚至是同构意义下唯一的，完备的，有序阿基米德域。然而，在这里我们会让你直观想象一下，从中心点零向左向右延伸到无穷远点数轴，像下面这张图的东西。
数轴
虽然我只标记了整数，但在数轴实际上是连续的，每个整数之间密密麻麻地生活着居民，即无论间隙如何小，我们总是能够在间隙中选取任何点，这些点就是实数。
现在我们同样回到实数的子集，你可能认为数轴上的每个数字都是有理数，但早在古希望的时代，人们就证明可根号2不是有理数（证明是相当容易理解的，可以参考无理数背后的历史和数学）
那些不是有理数的实数被称为无理数，这个定义可以用下面的符号来书写，表示实数去掉有理数的意思。
无理数
在我们深入到超越数的细节中之前，我们最后一站是复数，它可能和我们的主题并没有太大的关系，而我们之所以保留，主要是因为我缓慢全面的性格。
缓慢的蜗牛
所谓的复数，就是长成下面这样的数的集合：
复数
有了这些我们终于可以隆重地介绍超越数了。
不好意思，放错图片了，重来，我们考虑方程2x-10=0。每个小学生都被教导如何去求解这样的方程，我们有一整套标准化的程序来做这个，虽然这个程序没有任何美感和意义，但我们还是知道了上面那个方程的解是x=5。
一旦我们掌握了这种事情，就可以考虑稍微复杂一点的事，比方说2x+10=0，细心的你一定留意到了此时方程的解变成x=-5,我们的注意力由自然数转到了整数领域。我们再接再厉，考虑2x-1=0,这样我们就得到了有理数。
那些注定要夺得菲尔兹奖的人，会朝着更加复杂和困难的道路出发，于是他们写下：x^2-16=0,如果我的数学还有点用的话，我会知道x=+4或者-4。可如果我把方程方程变为x^2-2=0，我就不得不写下令人厌恶的东西了：此时x=根号2或者负根号2。但我们还可以让情况变得更糟糕：比如x^2+1=0,或许我们的脚步到这里就可以停止了，因为我们不断地这样写方程似乎不会产生更复杂的结果了。
到这里我们可以做一下简单的概括了。我们一直在考虑的都是这样的多项式方程：
多项式方程
这里多项式的系数都是整数，或者（等价地你可以使用有理数），所谓代数数就算指某个多项式方程的根，当然代数数可以是复数，但是人们在大多数使用的时候，还是希望限定在实数范围内讨论，即所谓的实代数数。
代数数的例子
一个很自然的问题就是有没有实数不是代数数，换句话说有没有实数不是任何整系数多项式方程的根？答案是肯定的，这种数数学上给了它们一个名字叫做超越数，历史上第一个被设计出来的超越数是刘维尔数。
刘维尔数
法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。它的证明有一些技术上细节，不过我们可以做一点弱的结果，那是很容易的，比方说：所有的刘维尔数都是无理数（隐含所有的有理数都是代数数，想一想为什么？）
刘维尔数都是无理数